Question

閱讀下面材料：

    根據兩角和與差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (Ⅱ)若的三個內角滿足,試判斷的形狀.

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結論)

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)證明見解析     (Ⅱ) 為直角三角形.

【解析】(1)通過觀察可知當相減可得積，然后再令即可證明.

（2）根據二倍角化式可知，

所以，進而得到,所以為直角三角形.

解法一：(Ⅰ)證明:因為，------①

          ，------②……………………………1分

①-② 得.------③…………………2分

令有，

代入③得.……………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化為

       ,……………………………8分

       所以.……………………………………………9分

設的三個內角A,B,C所對的邊分別為，

由正弦定理可得.…………………………………………11分

根據勾股定理的逆定理知為直角三角形.…………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結論和二倍角公式,可化為

         ，……………………8分

         因為A,B,C為的內角，所以，

所以.

又因為，所以,

所以.

從而.……………………………………………9分

又,所以，故.…………………………………11分

所以為直角三角形.