Question

閱讀下面材料：

根據兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 ．

(Ⅰ)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明:

;

(Ⅱ)若的三個內角滿足,試判斷的形狀．

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結論)

 

Answer 1

【答案】

（1）結合兩角和的余弦公式來聯立方程組來求解得到。

（2）直角三角形

【解析】

試題分析：解法一：(Ⅰ)因為，   ①

，        ②         2分

①-② 得.    ③     3分

令有，

代入③得.         6分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化為

,           8分

即.                 9分

設的三個內角A,B,C所對的邊分別為，

由正弦定理可得.                11分

根據勾股定理的逆定理知為直角三角形.          12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結論和二倍角公式, 可化為

，         8分

因為A,B,C為的內角，所以，

所以.

又因為，所以,

所以.

從而.                 10分

又因為,所以，即.

所以為直角三角形.                 12分

考點：兩角和與差三角函數公式、二倍角公式

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等