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閱讀下面材料：

根據兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 ．

(Ⅰ)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明:

;

(Ⅱ)若的三個內角滿足,試判斷的形狀．

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結論)

 

【答案】

（1）結合兩角和的余弦公式來聯立方程組來求解得到。

（2）直角三角形

【解析】

試題分析：解法一：(Ⅰ)因為，   ①

，        ②         2分

①-② 得.    ③     3分

令有，

代入③得.         6分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化為

,           8分

即.                 9分

設的三個內角A,B,C所對的邊分別為，

由正弦定理可得.                11分

根據勾股定理的逆定理知為直角三角形.          12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結論和二倍角公式, 可化為

，         8分

因為A,B,C為的內角，所以，

所以.

又因為，所以,

所以.

從而.                 10分

又因為,所以，即.

所以為直角三角形.                 12分

考點：兩角和與差三角函數公式、二倍角公式

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用閱讀材料及（1）中的結論試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結論）

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ） 類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結論）

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•福建模擬）閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sin2C，試判斷△ABC的形狀．
（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結論）

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科目：高中數學 來源：2013屆江蘇姜堰市高二第二學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀下面材料：

根據兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (1) 類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (2)若的三個內角滿足,直接利用閱讀材料及(1)中的結論試判斷的形狀.

 

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同步練習冊答案
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