Question

給出如下四個命題：
①定義在R上的函數f（x）為奇函數的必要不充分條件是f（0）=0；
②函數f（a-x）的圖象與函數f（a+x）的圖象關于直線x=a對稱；
③若函數y=f（x）存在反函數y=f^-1（x），則函數y=f^-1（x-1）-2的反函數一定存在，且其反函數為y=f（x+2）+1；
④函數f（x）與函數f（x+1）的值域一定相等，
但定義域不同．其中真命題分別為

①③④

．

Answer 1

分析：根據奇函數的特征，定義在R上的奇函數的圖象必過原點，結合充要條件的定義，可以判斷①的真假；根據函數圖象的對稱變換，求出函數f（a-x）的圖象與函數f（a+x）的圖象的對稱軸，我們可以判斷出②的真假；根據互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱，進而根據函數圖象的平移變換法則，可以判斷出③的真假；根據函數圖象左右平移變換不改變函數的值域，可判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：若函數f（x）為定義在R上的奇函數，則f（0）=0必成立，但f（0）=0時，函數f（x）不一定為奇函數
故①定義在R上的函數f（x）為奇函數的必要不充分條件是f（0）=0為真命題；
由于函數f（-x）的圖象與函數f（x）的圖象關于y軸對稱，而函數f（a-x）的圖象由函數f（-x）的圖象右移a個單位得到，函數f（a+x）的圖象由函數f（x）的圖象左移a個單位得到，故可得
故函數f（a-x）的圖象與函數f（a+x）的圖象關于直線x=0稱；故②為假命題；
若函數y=f（x）存在反函數y=f^-1（x），則函數y=f^-1（x-1）-2的反函數為y=f（x+2）+1，故③為真命題；
函數f（x）與函數f（x+1）的定義域可能不同，但值域一定相等，故④為真命題；
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假與應用，其中①中易搞不清P是Q的必要不充分條件與P的必要不充分條件是Q之間的區別，而錯判為假．