Question

設雙曲線－＝1(0＜a＜b＝的半焦距為c，直線l過(a，0)、(0，b)兩點．已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為

[　　]

A．2

B．

C．

D．

Answer 1

答案：A
解析：

解析：方法一　以原點O和點A(a，0)，B(0，b)為頂點的三角形是直角三角形，所以原點到直線AB(即直線l)的距離 d＝＝＝． 　　依題設d－c，所以ab－c2． 　　因為e＝，b＝，0＜a＜b， 　　所以－e2，e2＞＝， 　　得3e4－16(e2－1)＝0，即(e2－4)(3e2－4)＝0． 　　因為3e2－4＞4－4＞0， 　　所以e2－4＝0，得離心率e＝2． 　　方法二　用截距式得直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0， 　　因此，原點到l的距離為＝． 　　因為0＜a＜b，c＝， 　　所以4ab＝(a2＋b2)， 　　即(a，－b)(a－b)＝0． 　　因為a－b＜(1－)b＜0， 　　所以a－b＝0，得b＝a， 　　從而離心率e＝＝＝2．故選A． 　　點評：本題主要考查雙曲線的幾何特征量間的關系，但試題不采用直接的考查方式，而是引入了直線l(用幾何方式給出)，讓它與雙曲線(用方程的形式給出)存在確定的聯系．然后再提出問題，以增加試題的綜合性，以及有關量之間關系的隱蔽性，借以強化數學能力的考查，要求考生應有一定的幾何直觀能力、邏輯思維能力以及運算能力．作為選擇題的求解，方法一的后半部分的計算可省略．事實上，得到ab＝c2之后，由0＜a＜b和離心率e＝知有＜＝．由此可排除C、D．其次，由b＝，又可得＝e2，進而排除B．故選A．