Question

函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值．
（2）對任意的，，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過對等式中的x，y分別賦值1，0求出f（0）的值．
（2）要使不等式恒成立就需左邊的最大值小于右邊的最小值，通過對a討論求出右邊的最小值，求出a的范圍．
解答：解：（1）由已知等式f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令x=1，y=0得f（1）-f（0）=2，
又∵f（1）=0，∴f（0）=-2．
（2）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令y=0得f（x）-f（0）=（x+1）x，
由（1）知f（0）=-2，∴f（x）+2=x²+x．
∵，
∴在上單調遞增，
∴
要使任意，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
當a＞1時，，顯然不成立．
當0＜a＜1時，，∴，解得
∴a的取值范圍是．
點評：本題考查通過賦值法求函數值；解決不等式恒成立常用的方法是轉化為函數的最值．