Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面，， 是線段的中垂線， ，為線段上的點．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若為的中點，求異面直線與所成角的正切值；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】(I)見解析；(II)；(III)

【解析】

（Ⅰ）根據線面垂直得線線垂直，再根據線線垂直得線面垂直，最后根據面面垂直判定定理得結論，（Ⅱ）先根據三角形中位線性質得線線平行，即得異面直線所成角的角或補角，再根據直角三角形求結果，（Ⅲ）作,根據線面垂直判定定理得面，即得線面角，最后根據直角三角形求結果.

（Ⅰ）面,面

又，面

又面面面

(II) 連結,分別為邊的中點，

為異面直線與所成角或其補角

在中，

所以異面直線與所成角的正切值為.

(III) 連結，作交于點,

由(I)可知面 面 面面=

面面=

面，為斜線在面內的射影,

為線與面所成角, 在中，

直線與面所成角為.