Question

某企業生產一種產品時，固定成本為5000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為R(x)＝5x－x²(萬元)(0≤x≤5)，其中x是產品售出的數量(單位：百臺)
(1)把利潤表示為年產量的函數；
(2)年產量多少時，企業所得的利潤最大？
(3)年產量多少時，企業才不虧本？

Answer 1

(1)利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，當x≤5時，產品能全部售出，當x>5時，只能銷售500臺，所以
y＝
＝.
(2)在0≤x≤5時，y＝－x²＋4.75x－0.5，
當x＝－＝4.75(百臺)時，y_max＝10.78125(萬元)；
當x>5(百臺)時，y＜12－0.25×5＝10.75(萬元)，
所以當生產475臺時，利潤最大．
(3)要使企業不虧本，即要求
或，
解得5≥x≥4.75－≈0.1(百臺)或5＜x＜48(百臺)時，即企業年產量在10臺到4800臺之間時，企業不虧本． 

略