Question

已知2sin²α+sin²β=3sinα，則sin²α+sin²β的值域是

[0，

5

4

]∪{2}

．

Answer 1

分析：利用正弦函數的定義域、值域及其單調性和二次函數的性質即可求出．

解答：解：由2sin²α+sin²β=3sinα，及sin²β=3sinα-2sin²α得

3sinα≥0 0≤3sinα-2sin2α≤1

，解得0≤sinα≤

1

2

，
或sinα=1，
∴sin²α+sin²β=-sin²α+3sinα=-(sinα-

3

2

)2+

9

4

，
∵0≤sinα≤

1

2

，或sinα=1．
∴0≤-(sinα-

3

2

)2+

9

4

≤

5

4

，或2
故sin²α+sin²β的值域是[0，

5

4

]∪{2}．
故答案為[0，

5

4

]∪{2}．

點評：熟練掌握正弦函數的定義域、值域及其單調性和二次函數的性質是解題的關鍵．