Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+）+2sin²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，若f（A）=，△ABC的面積S=，a=，求sinB+sinC的值．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+2sin²=sinx+cosx+1-cosx
=sinx-cosx+1=sin（x-）+1，…（4分）
∵正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
∴2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z），
解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；…（6分）
（Ⅱ）由f（A）=，得到sin（A-）+1=，即sin（A-）=，
∵0＜A＜π，∴A=，…（7分）
∵面積S=bc•sinA=，
∴bc=2，…（8分）
∵a²=b²+c²-2bc•cos，
∴a²=（b+c）²-3bc，
又a=，bc=2，
∴b+c=3，…（10分）
∵===2，
∴sinB=，sinC=，
∴sinB+sinC=+==．…（12分）
分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）由第一問確定的函數(shù)解析式及f（A）的值，將x=A代入f（x）解析式，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，確定出sinA的值，由已知的面積S及sinA的值，利用三角形面積公式求出bc的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bc•cosA，利用完全平方公式變形后，將a，bc及cosA的值代入求出b+c的值，利用正弦定理由b表示出sinB，由c表示出sinC，代入所求式子中變形，再將b+c的值代入即可求出值．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．