Question

點M（x，y）在運動過程中，總滿足下列關(guān)系式：
①

x2+(y+3)2

-

x2+(y-3)2

=3；
②

(x+3)2+y2

-

(x-3)2+y2

=±3；
③

x2+(y+3)2

-

x2+(y-3)2

=6；
④

(x-3)2+y2

| 4 3 -x|

=

3

2

⑤

x2

m+1

+

y2

m+3

=1（-2＜m＜-1）；
⑥Ax²-By²=C（A•B＞0）．
則點M的軌跡是雙曲線的有

①②④⑤

（請把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

分析：對于①②③分別根據(jù)方程的幾何意義和雙曲線的定義進行判斷；對于④將方程變形、平方后化簡，再根據(jù)雙曲線的標準方程判斷；對于⑤由m得范圍判斷2+m與1+m異號即可；對于⑥根據(jù)通過舉反例判斷．

解答：解：①、方程的幾何意義是點M（x，y）與點A（0，-3）、B（0，3）的距離差為3，且3小于|AB|=6，故點M的軌跡是雙曲線的上支，符合題意；
②、方程的幾何意義是點M（x，y）與點A（-3，）、B（3，0）的距離差為±3，且3小于|AB|=6，故點M的軌跡是雙曲線，符合題意；
③、方程的幾何意義是點M（x，y）與點A（0，-3）、B（0，3）的距離差為6，且6等于|AB|=6，故點M的軌跡不是雙曲線，不符合題意；
④、由式子得

(x-3)2+y2

=

3

2

|

4

3

-x|且x≠

4

3

，兩邊平方化簡得，

x2

4

-

y2

5

=1，故點M的軌跡是雙曲線，符合題意；
⑤、∵-2＜m＜-1，∴-1＜m+1＜0，1＜m+3＜2，即（3+m）（1+m）＜0，則⑤符合題意；
⑥、當C=0時，方程為：Ax²-By²=0，應(yīng)為直線方程，故點M的軌跡不是雙曲線，不符合題意；

故答案為：①②④⑤．

點評：本題主要考查了雙曲線的定義，解答的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為幾何意義來判斷，注意定義中應(yīng)該是差的絕對值，且差的絕對值小于兩定點間的距離，屬于基礎(chǔ)題．