Question

20、設非空集合S具有如下性質：①元素都是正整數；②若x∈S，則10-x∈S．
（1）請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個；
（2）是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由；
（3）由（1）、（2）的解答過程啟發我們，可以得出哪些關于集合S的一般性結論（要求至少寫出兩個結論）？

Answer 1

分析：（1）根據設非空集合S具有如下性質：①元素都是正整數；②若x∈S，則10-x∈S．知：元素只有一個時，即x=10-x，即x=5；元素有二個時，即兩個正數的和為10；元素有三個時，必有一個元素5，另外兩個正數的和為10
（2）6個元素的集合S，元素必須要是1，9；2，8；3，7；4，6；中任意選三對
（3））①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，則s中的元素個數為奇數個，
若5∉s，則s中的元素個數為偶數個；
③符合題意的S共有31個

解答：解：（1）一個：5
    二個：1，9等
    三個：1，5，9等
（2）存在．一共有四個
S=1，2，3，7，8，9或S=1，2，4，6，8，9或S=1，3，4，6，7，9或S=2，3，4，6，7，8
（3）①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，則s中的元素個數為奇數個，
若5∉s，則s中的元素個數為偶數個；
③符合題意的S共有31個．等等

點評：本題考查了元素與集合關系的判斷，對知識的總結能力，屬于基礎題．