Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，記數列{an}的前n項和為Sn，數列{an2}的前n項和為Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比數列，求k和t的值．

Answer 1

【答案】（1）a1＝1（2）an＝2n－1，n∈N*．（3）k＝2，t＝3．

【解析】試題分析：（1）由，得，解方程即可得結果；（2）因為，兩式相減可得再得，再相減可得是等差數列，從而可得結果；(3)由(2)可知，根據成等比數列可得，只需證明以上等式無整數解即可.

試題解析：解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．

因為a1＞0，所以a1＝1．

（2）因為3Tn＝Sn2＋2Sn， ①

所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②

②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．

因為an＋1＞0，

所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2， ③

所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④

④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，

所以當n≥2時， ＝2．

又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，

即a22－2a2＝0．

因為a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，所以對n∈N*，都有＝2成立，

所以數列{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N*．

(3)由(2)可知Sn＝2n－1．

因為S1，Sk－S1，St－Sk成等比數列，

所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，

所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．

由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．

當k＝2時，2t＝8，得t＝3．

當k≥3時，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1為奇數，

所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此時k無正整數解．

綜上，k＝2，t＝3．