Question

已知橢圓C：=1的兩個焦點的坐標分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點P在橢圓上，=0且△PF₁F₂的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和△PF₁F₂的外接圓D的方程；
（Ⅱ）A為橢圓C的左頂點，過點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點，且M、N均不在x軸上，設直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據焦點的坐標可求得c，進而根據三角形的周長求得a，則b可求得，進而求得橢圓C的方程，利用推斷出兩直線垂直，求得P的坐標，則Rt△PF₂F₁的外接圓D的方程可求得．
（Ⅱ）先看當直線的斜率不存在時，求得M，N則兩直線的斜率可得，求得K₁K₂的值；再看斜率存在時，設出直線的方程與橢圓方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入到K₁K₂中，最后綜合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，c=1，2a+2=6，所以a=2，c=1
又a²=b²+c²，所以，橢圓C的方程為
因為，所以，可求得P或P，
所以Rt△PF₂F₁的外接圓D的方程是或．

（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，由（Ⅰ）得M，N，
可得，，所以．
當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，顯然k≠0，
則直線l的方程為y=k（x-1），
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）將y=k（x-1）代入方程，
并化簡得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
可得：x₁，，
所以==
綜上，．
點評：本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關系等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力．