Question

設A、B、C表示△ABC的三個內角的弧度數，a，b，c表示其對邊，求證：

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

Answer 1

分析：法一、不妨設A＞B＞C，則有a＞b＞c，由排序原理：順序和≥亂序和，可得結論；
法二、不妨設A＞B＞C，則有a＞b＞c，由排序不等式

aA+bB+cC

3

≥

A+B+C

3

•

a+b+c

3

，可得結論．

解答：證明：法一、不妨設A＞B＞C，則有a＞b＞c
由排序原理：順序和≥亂序和
∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）
∴

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．
法二、不妨設A＞B＞C，則有a＞b＞c，
由排序不等式

aA+bB+cC

3

≥

A+B+C

3

•

a+b+c

3

，
即aA+bB+cC≥

π

3

（a+b+c），
∴

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

點評：本題考查不等式的證明，考查排序原理：順序和≥亂序和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．