Question

已知函數f（x）=x²+ax+1，g（x）=e^x（其中e是自然對數的底數）．
（1）若a=-1，求函數y=f（x）•g（x）在[-1，2]上的最大值；
（2）若a=-1，關于x的方程f（x）=k•g（x）有且僅有一個根，求實數k的取值范圍；
（3）若對任意的x₁、x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）若a=-1，則y=f（x）•g（x）=（x²-x+1）•e^x，利用導數法可得函數y=（x²-x+1）•e^x在區間[-1，0]上單調遞減，在區間[0，2]上單調遞增，結合又f(-1)=

3

e

，f(2)=3e2，可得函數y=f（x）•g（x）在[-1，2]上的最大值；
（2）若a=-1，關于x的方程f（x）=k•g（x）有且僅有一個根，即k=

f(x)

g(x)

=

x2-x+1

ex

有且只有一個根，令h(x)=

x2-x+1

ex

，可得h(x)極大=h(2)=

3

e2

，h(x)極小=h(1)=

1

e

，進而可得當k＞

3

e2

或0＜k＜

1

e

時，k=h（x）有且只有一個根．
（3）設x₁＜x₂，因為g（x）=e^x在[0，2]單調遞增，故原不等式等價于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，當a≥-（e^x+2x）恒成立時，a≥-1；當a≤e^x-2x恒成立時，a≤2-2ln2，綜合討論結果，可得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=-1，則y=f（x）•g（x）=（x²-x+1）•e^x，
∴y'=（x²+x）•e^x=x（x+1）e^x，
∵x∈[-1，0]時，y'＜0，x∈[0，2]時，y'＞0，
∴函數y=（x²-x+1）•e^x在區間[-1，0]上單調遞減，在區間[0，2]上單調遞增，
又f(-1)=

3

e

，f(2)=3e2，
故函數的最大值為3e²．
（2）由題意得：k=

f(x)

g(x)

=

x2-x+1

ex

有且只有一個根，
令h(x)=

x2-x+1

ex

，則h′(x)=

-(x2-3x+2)

ex

=

-(x-1)(x-2)

ex

故h（x）在（-∞，1）上單調遞減，（1，2）上單調遞增，（2，+∞）上單調遞減，
所以h(x)極大=h(2)=

3

e2

，h(x)極小=h(1)=

1

e

，
因為h（x）在（2，+∞）單調遞減，且函數值恒為正，又當x→-∞時，h（x）→+∞，
所以當k＞

3

e2

或0＜k＜

1

e

時，k=h（x）有且只有一個根．
（3）設x₁＜x₂，因為g（x）=e^x在[0，2]單調遞增，
故原不等式等價于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即

g(x1)-f(x1)＜g(x2)-f(x2) f(x1)+g(x1)＜g(x2)+f(x2)

，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
則函數F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調遞增，
則有

G′(x)=g′(x)+f′(x)=ex+2x+a≥0 F′(x)=g′(x)-f′(x)=ex-2x-a≥0

，在[0，2]恒成立，
當a≥-（e^x+2x）恒成立時，因為-（e^x+2x）在[0，2]單調遞減，
所以-（e^x+2x）的最大值為-1，所以a≥-1；
當a≤e^x-2x恒成立時，因為e^x-2x在[0，ln2]單調遞減，在[ln2，2]單調遞增，
所以e^x-2x的最小值為2-ln2，所以a≤2-2ln2，
綜上：-1≤a≤2-2ln2．

點評：本題考查的知識點是導數在最大值和最小值中的應用，利用導數分析函數的單調性，利用導數分析函數的極值，運算量大，綜合性強，轉化困難，屬于難題．