Question

已知z∈C，z+2i 和

z

2-i

都是實(shí)數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+ai）² 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)等式，利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件求出a，b的值，即得復(fù)數(shù)z．
（2）化簡(jiǎn)式子，利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系列出不等式組，解不等式組求得實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z+2i=a+（b+2）i，

z

2-i

=

a+bi

2-i

=

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i，
∵z+2i 和

z

2-i

 都是實(shí)數(shù)，∴

b+2=0 a+2b 5 =0

，解得

a=4 b=-2

，∴z=4-2i．
（2）由（1）知z=4-2i，∴（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i，
∵（z+ai）² 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＜0

，
即

a2-4a-12＜0 a＜2

，∴

-2＜a＜6 a＜2

，∴-2＜a＜2，即實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，
式子的變形是解題的難點(diǎn)．