Question

18．設點F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點（O為坐標原點），以O為圓心，|F₁F₂|為直徑的圓交雙曲線于點M（第一象限）．若過點M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF₂的中點，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意M的坐標為M（ $\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入雙曲線方程可得e的方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意點F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點（O為坐標原點），以O為圓心，|F₁F₂|為直徑的圓交雙曲線于點M（第一象限）．若過點M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF₂的中點，
△OMF₂是正三角形，M的坐標為M（ $\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入雙曲線方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1
∴e⁴-8e²+4=0，
∴e²=4+2$\sqrt{3}$
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線與圓的性質，考查學生的轉化思想以及計算能力，是中檔題．