Question

如圖，已知⊙O和⊙O₁內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O的弦AP交⊙O₁于點(diǎn)B，PC切⊙O₁于點(diǎn)C，且

PC

PA

=

2

2

，則⊙O₁和⊙O的半徑的比值為多少？

Answer 1

分析：根據(jù)同圓的半徑相等，得到兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，得到兩條線段平行，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比例式，又根據(jù)切割線定理得到關(guān)系式，把整理出的關(guān)系式兩邊同時(shí)除以PA²，得到要求的結(jié)果．

解答：解：連接OP、OA、O₁B，△OPA和△O₁BA是頂角相等的等腰三角形，
故∠APO=∠ABO₁，從而O₁B∥OP
故

AO1

AO

=

AB

AP

．
又由切割線定理，知PC²=PB•PA=（PA-AB）•PA=PA²-PA•AB，兩端同除以PA²，
得

PC2

PA2

=1-

AB

PA

，
即（

2

2

）²=1-

AB

PA

，
故

AB

PA

=

1

2

，
從而⊙O₁和⊙O的半徑的比值為

AO1

AO

=

AB

AP

=

1

2

．
答：⊙O₁和⊙O的半徑的比值為

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是兩個(gè)比例式之間的變化，還有兩邊同時(shí)除以PA²的做法，本題是一個(gè)技巧性比較強(qiáng)的問(wèn)題．