Question

數列滿足，．

（Ⅰ）求、、；

（Ⅱ）求的表達式；

（Ⅲ）令，求．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）、、；

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由遞推公式即可求出、、；（Ⅱ）方法一：猜想出通項公式，然后用數學歸納法證明；方法二：由遞推公式可以構造等比數列，借助等比數列可以求出通項公式；方法二：由遞推公式可以構造等差數列，借助等差數列可以求出通項公式；.

（Ⅰ）由遞推公式：、、；                                3分

（Ⅱ）方法一：猜想：，下面用數學歸納法證明：      

① ，猜想成立；

② 假設時，，

則，即時猜想成立，

綜合①②，由數學歸納法原理知：．                     8分

方法二：由得，

所以：．                             8分

方法三：由得：，兩式作差得：，

于是是首項，公差為的等差數列，那么，

且是首項，公差為的等差數列，那么，

綜上可知：．                                    8分

（Ⅲ）

                   10分

．                      12分.

考點：歸納推理、數學歸納法、數列求和.