Question

設a₁，d為實數，首項為a₁，公差為d的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S₅S₆+15=0，S₅=5
（Ⅰ）求通項a_n及S_n；
（Ⅱ）設{b_n-2a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知求出S₆的值，然后與S₅的值聯立方程組求解等差數列的首項和公差，則等差數列的通項公式和前n項和可求；
（Ⅱ）由{b_n-2a_n}是等比數列寫出其通項公式，在把a_n代入b_n-2a_n可求數列{b_n}的通項公式，然后利用分組求和得到數列{b_n}的其前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S₅S₆+15=0及S₅=5，有S₆=-3，
則

5a1+10d=5 6a1+15d=-3

，解得

a1=7 d=-3

．
∴a_n=7+（n-1）（-3）=-3n+10，
Sn=

7+(-3n+10)

2

n=-

3

2

n2+

17

2

n；
（Ⅱ）∵{b_n-2a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
∴bn-2an=3n-1，
又a_n=-3n+10，
∴bn=3n-1+20-6n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1+2a1)+(3+2a2)+…+(3n-1+2an)
=1+3+…+3^n-1+2（a₁+a₂+…+a_n）=

1-3n

1-3

+2Sn=

3n-1

2

-3n2+17n．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了等差數列和等比數列的前n項和公式，訓練了數列的分組求和方法，是中檔題．