Question

設函數f（x）=2sinx+cos（x-

π

2

），x∈R．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，α，β∈（0，

π

2

），求tan（α+β）的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,兩角和與差的正切函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，化簡函數解析式：f（x）=3sinx，然后，根據奇函數的定義驗證即可；
（2）根據f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，得到sinα=

1

3

，sinβ=

2

2

，然后，求解tanα=

sinα

cosα

=

2

4

，tanβ=

sinβ

cosβ

=1，最后，用兩角和的正切公式求解即可．

解答： 解：∵函數f（x）=2sinx+cos（x-

π

2

）
=2sinx+sinx
=3sinx，
∴f（x）=3sinx，
（1）∵f（-x）=3sin（-x）=-3sinx=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
（2）∵f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，
∴sinα=

1

3

，sinβ=

2

2

，
∵α，β∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
cosβ=

1-sin2β

=

2

2

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

2

4

，
tanβ=

sinβ

cosβ

=1，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2 4 +1

1- 2 4

=

9+4 2

7

．
∴tan（α+β）=

9+4 2

7

．

點評：本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角求值、兩角和與差的三角公式等知識，屬于中檔題．