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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在△ABC中，設
AB
=
a
，
AC
=
b
，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若
AP
=m
a
+n
b
，則m=
 
，n=
 
．
分析：由
AP
=m
a
+n
b
，利用中點關系得：
AQ
=
1
2
(m
a
+n
b
)，結合向量的減法的三角形法則得
BQ
=
AQ
-
AB
=
1
2
(m  
a
+n
b
)-
a
=(
1
2
m-1)
a
+
1
2
n
b
，同理得到得出：
AP
=
AC
+
CP
=(
1
8
m+
1
4
)
a
+(
1
8
n+
1
2
)
b
，
最后利用向量相等
AP
=m
a
+n
b
=(
1
8
m+
1
4
)
a
+(
1
8
n+
1
2
)
b
，列出m，n的方程組即可解得：m=
2
7
，n=
4
7
．
解答：解：精英家教網由
AP
=m
a
+n
b
，得：
AQ
=
1
2
(m
a
+n
b
)，
∴
BQ
=
AQ
-
AB
=
1
2
(m  
a
+n
b
)-
a
=(
1
2
m-1)
a
+
1
2
n
b
，
∴
BR
=
1
2
[( 
1
2
m-1)
a
+
1
2
n
b
]=(
1
4
m-
1
2
)
a
+
1
4
n
b
，
由于：
CR
=
BR
-
BC
，
從而：
CR
=(
1
4
m+
1
2
)
a
+(
1
4
n-1)
b
，
∴
CP
=(
1
8
m+
1
4
)
a
+(
1
8
n-
1
2
)
b
，
從而得出：
AP
=
AC
+
CP
=(
1
8
m+
1
4
)
a
+(
1
8
n+
1
2
)
b
，
故有：
AP
=m
a
+n
b
=(
1
8
m+
1
4
)
a
+(
1
8
n+
1
2
)
b
，
∴
1
8
m+
1
4
=m
1
8
n+
1
2
=n

解得：m=
2
7
，n=
4
7

故答案為：
2
7
；
4
7
．
點評：本小題主要考查向量數乘的運算及其幾何意義、向量加法減法的應用、向量相等的概念等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，設
.
AB
=
.
a
，
.
AC
=
.
b
，點D在線段BC上，且
.
BD
=3
.
DC
，則
AD
用
a
，
b
表示為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=
a
，
AC
=
b
，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若
AP
=m
a
+n
b
，則m+n=
6
7
6
7
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖在△ABC中，設
AB
=
a
，
AC
=
b
，又
BD
=2
DC
，|
a
|=2，|
b
|=1，?
a
，
b
＞=
π
3
，（?
a
.
b
＞是表示向量
a
，
b
的夾角）
（1）用
a
，
b
表示
AD

（2）若點E是AC邊的中點，直線BE交AD于F點，求
AF
•
AB
．

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