Question

已知函數f（x）=2﹣|x|，無窮數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比數列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a₁，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）a₂=2，a₃=0，a₄=2（2）a₁=1或（3）存在

試題分析：（1）由題意，代入計算得a₂=2，a₃=0，a₄=2；
（2）a₂=2﹣|a₁|=2﹣a₁，a₃=2﹣|a₂|=2﹣|2﹣a₁|，
①當0＜a₁≤2時，a₃=2﹣（2﹣a₁）=a₁，
所以，得a₁=1；
②當a₁＞2時，a₃=2﹣（a₁﹣2）=4﹣a₁，
所以，得（舍去）或．
綜合①②得a₁=1或．
（3）假設這樣的等差數列存在，那么a₂=2﹣|a₁|，
a₃=2﹣|2﹣|a₁||，由2a₂=a₁+a₃得2﹣a₁+|2﹣|a₁||=2|a₁|（*），
以下分情況討論：
①當a₁＞2時，由（*）得a₁=0，與a₁＞2矛盾；
②當0＜a₁≤2時，由（*）得a₁=1，從而a_n=1（n=1，2，…），
所以{a_n}是一個等差數列；
③當a₁≤0時，則公差d=a₂﹣a₁=（a₁+2）﹣a₁=2＞0，
因此存在m≥2使得a_m=a₁+2（m﹣1）＞2，
此時d=a_m+1﹣a_m=2﹣|a_m|﹣a_m＜0，矛盾．
綜合①②③可知，當且僅當a₁=1時，a₁，a₂，…，a_n，…成等差數列．
點評：本題考查數列的函數特性、等差關系等比關系的確定，考查分類討論思想，考查學生邏輯推理能力、分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大