Question

若實數a滿足a＞|y-1|-|y-2|（y∈R）恒成立，則函數f（x）=log_a（x²-5x+6）的單調減區間為（　　）

• A、（

  5

  2

  ，+∞）
• B、（3，+∞）
• C、（-∞，

  5

  2

  )
• D、（-∞，2）

Answer 1

分析：構造函數g（y）=|y-1|-|y-2|=

1      y≥2 2y-3 1＜y＜ -1     y＜1

2，做出函數的圖象，結合圖象可知函數的最大值1，由a＞|y-1|-|y-2|（y∈R）恒成立?a＞g（y）_max 從而可得a＞1然后求出函數f（x）=log_a（x²-5x+6）的定義域為{x|x＞3，或x＜2}，由t=x²-5x+6及y=log_at的單調性結合復合函數的單調性可1求函數f（x）單調遞減區間

解答：解：令g（y）=|y-1|-|y-2|=

1      y≥2 2y-3 1＜y＜ -1     y＜1

2則函數的圖象如下圖，由圖可知函數的最大值1
由a＞|y-1|-|y-2|（y∈R）恒成立可知a＞g（y）_max，a＞1
函數f（x）=log_a（x²-5x+6）的定義域為{x|x＞3，或x＜2}
令t=x²-5x+6在（-∞，2]上單調遞減，在[3，+∞）單調遞增
y=log_at在（0，+∞）單調遞增
由復合函數的單調性可知，函數f（x）在（-∞，2）單調遞減
故選：D

點評：（1）解決（1）的關鍵是a＞|y-1|-|y-2|（y∈R）恒成立?a＞g（y）_max，，體現了等價轉化的思想及數形結合的思想（2）本題求解復合函數的單調區間時一定要注意先求函數定義域，這也是考生容易漏掉的解得，不要把單調區間誤寫為：（-∞，

5

2

)，(

5

2

，+∞)要注意函數的單調區間一定要在函數有意義的條件下討論．