Question

設橢圓的左右頂點分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|=|PC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線AC（C點不同于A，B）與直線x=2交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）由題意，可得a=2，e==，可得c=，-----------------（2分）
∴b²=a²-c²=1，
因此，橢圓的方程為．-----------------（4分）
（2）設C（x，y），P（x₀，y₀），由題意得，即，-----------------（6分）
又，代入得，即x²+y²=4．
即動點C的軌跡E的方程為x²+y²=4．-----------------（8分）
（3）設C（m，n），點R的坐標為（2，t），
∵A、C、R三點共線，∴∥，
而=（m+2，n），=（4，t），則4n=t（m+2），
∴t=，可得點R的坐標為（2，），點D的坐標為（2，），-----------------（10分）
∴直線CD的斜率為k==，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k==-，-----------------（12分）
∴直線CD的方程為y-n=-（x-m），化簡得mx+ny-4=0，
∴圓心O到直線CD的距離d===2=r，
因此，直線CD與圓O相切，即CD與曲線E相切．-----------------（14分）
分析：（1）根據題意建立關于a、c的方程組，解出a=2，c=，從而得到b²的值，即可求出橢圓的方程；
（2）設C（x，y）、P（x₀，y₀），可得x₀=x且y₀=y，結合點P（x₀，y₀）在橢圓上代入化簡得到x²+y²=4，即為動點C的軌跡E的方程；
（3）設C（m，n）、R（2，t），根據三點共線得到4n=t（m+2），得R的坐標進而得到D（2，）．由CD斜率和點C在圓x²+y²=4上，解出直線CD方程為mx+ny-4=0，最后用點到直線的距離公式即可算出直線CD與圓x²+y²=4相切，即CD與曲線E相切．
點評：本題給出橢圓及其上的動點，求橢圓的方程并用此探索直線CD與曲線E的位置關系，著重考查了橢圓的簡單幾何性質、直線與圓的位置關系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．