Question

設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；

（3）設(shè)直線AC（C點(diǎn)不同于A，B）與直線交于點(diǎn)R，D為線段RB的中點(diǎn)，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）;(2) ;(3) 直線與圓相切,證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）要求橢圓的方程,就要知道a,b,由點(diǎn)A知道a=2,由離心率可求得c,由a²=b²+c²進(jìn)而求出b=1;(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,首先設(shè)，，利用用C點(diǎn)表示P點(diǎn)坐標(biāo), ,代入橢圓方程,從而得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡;(3)直線與圓的位置關(guān)系有三種,相交,相切,相離,判斷的方法是圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系,如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交d<r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d>r；求出圓心到直線的距離后和半徑進(jìn)行比較,可得直線與圓的位置關(guān)系.

試題解析：（1）由題意可得，，

∴，

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）設(shè)，，由題意得，即，

又，代入得，即．

即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．

（3）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵三點(diǎn)共線，

∴，

而，，

則，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴直線的斜率為，

而，

∴，

∴，

∴直線的方程為，

化簡(jiǎn)得，

∴圓心到直線的距離，

∴直線與圓相切．

考點(diǎn)：1.橢圓;2.動(dòng)點(diǎn)軌跡;3.直線與圓的位置關(guān)系.