Question

已知函數f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，試確定函數f（x）的單調區間；
（2）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（3）設函數F（x）=f（x）+f（-x），求證：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0
（2）f（|x|）是偶函數，只需研究f（x）＞0對任意x≥0成立即可，即當x≥0時f（x）_min＞0
（3）觀察結論，要證F（1）F（2）…F（n）＞，即證[F（1）F（2）…F（n）]²＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ，變形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）]…[F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ，可證F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2，F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．問題得以解決．
解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調遞增區間是（1，+∞），
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調遞減區間是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數．
于是f（|x|）＞0對任意x∈R成立等價于f（x）＞0對任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此時f（x）在[0，+∞）上單調遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當k∈（1，+∞）時，lnk＞0．
當x變化時f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
綜合①，②得，實數k的取值范圍是0＜k＜e．
（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，∴F（x₁）F（x₂）=，
∴F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2，F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．
由此得，[F（1）F（2）F（n）]²=[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）][F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ
故，n∈N^*．
點評：本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．