Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；l₁，l₂是過點P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點，l₂交E交C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N． 
（1）求橢圓E的方程；  
（2）求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）求證直線OM與直線ON的斜率乘積為定值（O為坐標原點）

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4可得

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

解得即可；
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零．由l₁⊥l₂可得l₁：y=kx+2，l2：y=-

1

k

x+2．分別與橢圓的方程聯(lián)立轉化為一元二次方程的判別式△＞0即可得出；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），利用（2）可得x₁+x₂，利用中點坐標公式可得M，N的坐標，再利用斜率計算公式即可證明：
直線OM與直線ON的斜率乘積為定值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由離心率為

1

2

，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4可得

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零．
∵l₁：y=kx+2，∴l2：y=-

1

k

x+2．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

消去y并化簡整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
根據(jù)題意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

．
同理得(-

1

k

)2＞

1

4

，k2＜4，
∴

1

4

＜k2＜4，k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
那么x1+x2=-

16k

3+4k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

8k

3+4k2

，y0=kx0+2=

6

3+4k2

，
∴M(-

8k

3+4k2

，

6

3+4k2

)
同理得N(-

8(- 1 k )

3+4(- 1 k )2

，

6

3+4(- 1 k )2

)，即N(

8 k

3+ 4 k2

，

6

3+ 4 k2

)，
∴kOM•kON=-

3

4k

•

3k

4

=-

9

16

，
即直線OM與直線ON的斜率乘積為定值-

9

16

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的判別式△＞0、中點坐標公式、斜率計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．