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(文科)如圖,已知PA與圓O相切于點A,半徑OB⊥OP,AB交PO于點C.
(Ⅰ)求證:PA=PC;
(Ⅱ)若圓O的半徑為3,OP=5,求BC的長度.
分析:(I)根據弦切角定理,可得∠PAB=∠ACB,根據圓周角定理可得∠BAC=90°,結合BC⊥OP,根據同角的余角相等及對頂角相等可得∠PDA=∠PAB,即△PAD為等腰三角形
(II)先求出∠AOP,在等腰三角形AOB中,求出∠OBC,利用Rt△BOC中,BC=
OB
cos∠OBC
,求出答案.
解答:證明:(I)∵PA與圓O相切于點A,
∴∠PAB=∠ADB
∵BD為圓O的直徑,
∴∠BAD=90°
∴∠ADB=90°-∠B
∵BD⊥OP,
∴∠BCO=90°-∠B
∴∠BCO=∠PCA=∠PAB
即△PAC為等腰三角形
∴PA=PC;
(Ⅱ)解:由題意得 Rt△AOP中,cos∠AOP=
OA
OP
=
3
5
,cos
∠AOP
2
=
2
5
5
,sin
∠AOP
2
=
5
5

∴∠AOB=
π
2
+∠AOP,
∴等腰三角形AOB中,∠OBC=
π-( 
π
2
+∠AOP)
2
=
π
4
-
∠AOP
2

由和差角公式得:cos∠OBC=
3
10
10

在Rt△BOC中,BC=
OB
cos∠OBC
=
3
3
10
10
=
10
點評:本題考查的知識點是弦切角定理,圓周角定理,等腰三角形的判定,相似三角形的判定與性質,難度不大,是基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•鹽城模擬)(本題文科學生做)如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知F1(-4,0),F2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1、AF2分別交于點P、Q.
(Ⅰ)當t=3時,求以F1,F2為焦點,且過PQ中點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R,記△PRF1的外接圓為圓C.
①求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上;
②圓C是否恒過異于點F1的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的弦,F為拋物線的焦點,點A(x1,y1),B(x2,y2).
求證:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)y1 y2=-p2,x1 x2=
p2
4

(3)(理科)直線的傾斜角為θ時,求弦長|AB|.
(3)(文科)當p=2,直線AB的傾斜角為
π
4
時,求弦長|AB|.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2006•蚌埠二模)已知等差數列{an}的首項為p,公差為d(d>0).對于不同的自然數n,直線x=an與x軸和指數函數f(x)=(
12
)x
的圖象分別交于點An與Bn(如圖所示),記Bn的坐標為(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面積分別為s1和s2,一般地記直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面積為sn
(1)求證數列{sn}是公比絕對值小于1的等比數列;
(2)設{an}的公差d=1,是否存在這樣的正整數n,構成以bn,bn+1,bn+2為邊長的三角形?并請說明理由;
(3)(理科做,文科不做)設{an}的公差d=1,是否存在這樣的實數p使得(1)中無窮等比數列{sn}各項的和S>2010?如果存在,給出一個符合條件的p值;如果不存在,請說明理由.(參考數據:210=1024)

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科目:高中數學 來源:浙江省海鹽元濟高級中學2010-2011學年高二12月月考數學試題 題型:044

如圖,已知正三角形PAB⊥底面ABCD,其中∠ABC=∠BAD=90°且BC=2AD=2AB=4,

(Ⅰ)求證:AD∥平面PBC

(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積

(Ⅲ)求PC與底面ABCD所成角的余弦值(文科)

求二面角P-CD-B的余弦值(理科)

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的弦,F為拋物線的焦點,點A(x1,y1),B(x2,y2).
求證:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)y1 y2=-p2,x1 x2=數學公式
(3)(理科)直線的傾斜角為θ時,求弦長|AB|.
(3)(文科)當p=2,直線AB的傾斜角為數學公式時,求弦長|AB|.

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