Question

f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意x∈R，總有f（x+2）=-f（x）成立，則f（19）=（ ）
A．0
B．1
C．18
D．19

Answer 1

【答案】分析：本題是函數的性質---偶函數與周期性以及恒等關系靈活運用題，首先對f（x+2）=-f（x）進行變形，得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x），證出周期為4，得出f（19）=f（-1），再由函數是偶函數及恒等式f（x+2）=-f（x）分別得出f（-1）=f（1）與f（1）=-f（-1），由兩者聯立得到f（-1）=-f（-1），算出f（-1）=0，即f（19）=0
解答：解：f（x+2）=-f（x）⇒f（x+4）=-f（x+2）=f（x）⇒周期T=4⇒f（19）=f（-1），
又f（x）是定義在R上的偶函數，得f（-1）=f（1）①，
且當x=-1時，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（-1）②，
由①②聯立得f（-1）=0
所以f（19）=f（-1）=0
故選A．
點評：本題是函數性質的綜合運用題，技巧性較高，屬于知識靈活運用題，本題有一個易忽視的地方，那就是f（x+2）=-f（x）的理解與運用，除了可用之得到周期為4外，還應由它得出一個具體的等式f（1）=-f（-1），這也是解本題的一個難點．