Question

已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的周期及其圖象的對稱中心；
（2）△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（B）的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為sin（

x

2

+

π

6

）+1，由此可得f（x）的周期及其圖象的對稱中心．
（2）△ABC中，由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡可得得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，故有cosB=

1

2

，由此求得 B 的值．

解答：解：（1）∵已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+1=sin（

x

2

+

π

6

）+1，
故f（x）的周期為

2π

1 2

=4π．
由sin（

x

2

+

π

6

）=0 求得

x

2

+

π

6

=kπ，k∈z，即 x=2kπ-

π

3

，故函數的圖象的對稱中心為（2kπ-

π

3

，0）．
（2）△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得 （2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
化簡可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
∴f（B）=sin（

π

6

+

π

6

）+1=

3

2

+1．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應用，三角函數的周期性及求法，正弦函數的對稱中心、正弦定理，屬于中檔題．