Question

過雙曲線的右焦點F₂作垂直于實軸的弦PQ，F₁是左焦點，若∠PF₁Q=90°，則雙曲線的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據過雙曲線的右焦點F₂作垂直于實軸的弦PQ，得到P，Q，F₂的橫坐標都是c，且P和Q關于F點對稱的，設出點P，Q的坐標，∠PF₁Q=90°，根據•=0求得關于a，b，和c的一個方程，根據c2=a2+b2，消去b，得到關于a，c的一個方程，即可解得雙曲線的離心率．
解答：解：由于PQ過F2，所以P，Q，F₂的橫坐標都是c，且由雙曲線的對稱性可知，P和Q關于F點對稱的，也就是P和Q的縱坐標是相反數，
那么設P（c，y），Q（c，-y），而F₁（-c，0）
那么=（2c，y），=（2c，-y）
∵∠PF₁Q=90°，∴•=0，
即（2c，y）•（2c，-y）=0
∴4c²-y²=0，
由于P在雙曲線上，所以P滿足，
又因為=e²，
把上式變形，得y²=b²（e²-1）
代入4c²-y²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同時除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e⁴-6e²+1=0
解得e²=3±，∵e＞1
∴e²═3+=（1+）²
∴e=1+
故選B．
點評：此題是個中檔題，考查向量數量積的坐標運算和雙曲線的定義，體現了數學結合的思想方法，求雙曲線的離心率即尋求關于a，c的一個齊次式，解此方程即可求得結果，體現方程的方法．