Question

【題目】設函數f（x）滿足2x2f（x）+x3f'（x）=ex ， f（2）= ，則x∈[2，+∞）時，f（x）的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，

當x＞0時，

故此等式可化為：f'（x）= ，且當x=2時，f（2）= ，

f'（x）= =0，

令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，

求導g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣ = （x﹣2），

當x∈[2，+∞）時，g′（x）＞0，

則g（x）在x∈[2，+∞）上單調遞增，

g（z）的最小值為g（2）=0，

則f'（x）≥0恒成立，

∴f（x）的最小值f（2）= ，

故選D．

【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．