Question

甲、乙、丙三人分別獨立的進行某項技能測試，已知甲能通過測試的概率是

2

5

，甲、乙、丙三人都能通過測試的概率是

3

20

，甲、乙、丙三人都不能通過測試的概率是

3

40

，且乙通過測試的概率比丙大．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是多少；
（Ⅱ）求測試結束后通過的人數ξ的數學期望Eξ．
（Ⅲ）求在乙通過測試的條件下，甲沒有通過測試的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是x、y，依題意得：

2 5 xy= 3 20 3 5 (1-x)(1-y)= 3 40

，由此可求乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是多少；
（Ⅱ）測試結束后通過的人數ξ的取值分別為0，1，2，3，求出相應的概率，即可求數學期望Eξ．
（Ⅲ）利用條件概率公式，可求在乙通過測試的條件下，甲沒有通過測試的概率．

解答：解：（Ⅰ）設乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是x、y，
依題意得：

2 5 xy= 3 20 3 5 (1-x)(1-y)= 3 40

，解得

x= 3 4 y= 1 2 .

或  

x= 1 2 y= 3 4 .

（舍去）┅┅┅┅┅┅┅（4分）
所以乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是

3

4

、

1

2

．┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）ξ的取值分別為0，1，2，3，則
因為P (ξ=0)=

3

40

，P(ξ=3)=

3

20

，P(ξ=1) =

2

5

(1-

3

4

)(1-

1

2

)+(1-

2

5

)

3

4

(1-

1

2

)+(1-

2

5

)(1-

3

4

)

1

2

=

7

20

，P (ξ=2)=1-(P0+P1+P3)=

17

40

，
所以Eξ=0•

3

40

+1•

7

20

+2•

17

40

+3•

3

20

=

33

20

；
（Ⅲ）設甲，乙通過測試的事件分別為 A，B，
則所求的事件的概率為P(

.

A

|B)=

P( . A B)

P(B)

=

P( . A )P(B)

P(B)

=P(

.

A

)=1-

2

5

=

3

5

．

點評：本題考查概率的計算，考查隨機變量的數學期望，考查條件概率，考查學生的計算能力，正確求概率是關鍵．