Question

（本小題滿分13分）

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F為CD中點.

（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面CDE；

（Ⅱ）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）直線和平面所成角的正弦值為．

【解析】(I)利用向量法證明先建立空間直角坐標系，求出兩個面的法向量，再證兩個法向量垂直即可.

（II）利用向量法求線面角，設直線BF和平面BCE所成角為,平面BCE的法向量為,則利用求值即可.

以為原點，、、分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示．

    ……1分

設，因為為等腰直角三角形，，且，

所以，，，，                ……2分

所以，，，． ……分

（Ⅰ）設平面的法向量為，則由，得，

令，則．                                          ……5分

設平面的法向量為，則由，得，

令，則．                                            ……7分

所以，所以平面平面．                         ……8分

（Ⅱ）因為為中點，所以，．

則．                     ……11分

設直線和平面所成角為，則

所以直線和平面所成角的正弦值為．                      ……15分