Question

如圖所示，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點.

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若H為PD上的動點,EH與平面PAD所成最大角的正切值為,

求二面角E—AF—C的余弦值.

Answer 1

（1）證明略（2）所求二面角的余弦值為

解析:

(1)  由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,

可得△ABC為正三角形.

因為E為BC的中點,所以AE⊥BC.

又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,

所以AE⊥PD.

(2)  如圖所示，設AB=2,H為PD上任意一點,連結AH、EH,

由(1)知,AE⊥平面PAD,

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中,AE=,

所以,當AH最短時,∠EHA最大,

即當AH⊥PD時,∠EHA最大.

此時,tan∠EHA===,

因此AH=.又AD=2,

所以∠ADH=45°,所以PA=2.

方法一  因為PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,

所以,平面PAC⊥平面ABCD.

過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,

過O作OS⊥AF于S,連接ES,

則∠ESO為二面角E—AF—C的平面角.

在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,

AO=AE·cos30°=,又F是PC的中點,

在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,

又SE===,

在Rt△ESO中,cos∠ESO===,

即所求二面角的余弦值為.

方法二  由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

又E、F分別為BC、PC的中點，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)(，，1），

所以=(，0，0），

=(，，1）.

設平面AEF的一法向量為

m=（x₁，y₁，z₁），

因此

取z₁=-1，則m=（0，2，-1），

因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故為平面AFC的一法向量.

又=（-，3，0），

所以cos〈m,〉===.

因此,二面角E—AF—C為銳角,

所以所求二面角的余弦值為