Question

曲線C：y=2x³-3x²-2x+1，過點P（

1

2

，0）的切線方程為2x+y-1=0，且交于曲線A、B兩點．求切線與C圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：由于切線過點P，故先設切點求切線方程，再與曲線C聯立，可求交點坐標，從而利用定積分求曲線圍成的圖形面積．

解答：解：由y=2x³-3x²-2x+1得：y'=6x²-6x-2．
設切點為A（x₀，y₀），則y₀=2x₀³-3x₀²-2x₀+1，
于是 切線l為：y-（2x₀³-3x₀²-2x₀+1）=（6x₀²-6x₀-2）（x-x₀）…（3分）
又 切線過點P（

1

2

，0）
∴0-（2x

3 0

-3x

2 0

-2x₀+1）=（6x

2 0

-6x₀-2）（

1

2

-x₀）
化簡得：x₀（4x₀²-6x₀+3）=0，
解得：x₀=0，y₀=1即切點A（0，1）
∴切線l為：2x+y-1=0，
聯立

y=2x3-3x2-2x+1 2x+y-1=0

，解得：

x= 3 2 y=-2

或 

x=0 y=1

∴另一交點為B（

3

2

，-2）
∴S=

∫

3 2 0

[（1-2x）-（2x³-3x²-2x+1）]dx
═

∫

3 2 0

（3x²-2x³）dx═（x³-

1

2

x⁴）|

|

3 2 0

=

27

32

．

點評：本題以曲線為載體，考查曲線的切線方程，考查利用定積分求曲線圍成的圖形面積，解題的關鍵是區分在點處與過點的切線方程的求解．