Question

已知曲線C：y=2x³-3x²-2x+1，點P(

1

2

，0)，求過P點的切線l與曲線C所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：由于切線過點P，故先設切點求切線方程，再與曲線C聯立，可求交點坐標，從而利用定積分求曲線圍成的圖形面積．

解答：解：由y=2x³-3x²-2x+1得：y'=6x²-6x-2
設切點為Q（x₀，y₀），則y₀=2x₀³-3x₀²-2x₀+1
于是 切線l為：y-（2x₀³-3x₀²-2x₀+1）=（6x₀²-6x₀-2）（x-x₀）…（3分）
又 切線過點P(

1

2

，0)
∴0-(2

x

3 0

-3

x

2 0

-2x0+1)=(6

x

2 0

-6x0-2)(

1

2

-x0)
化簡得：x₀（4x₀²-6x₀+3）=0解得：x₀=0，y₀=1即切點Q（0，1）
∴切線l為：2x+y-1=0
聯立

y=2x3-3x2-2x+1 2x+y-1=0

，解得：

x= 3 2 y=-2

或 

x=0 y=1

∴另一交點為H(

3

2

，-2)
∴S=

∫

3 2 0

[(1-2x)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=

∫

3 2 0

(3x2-2x3)dx=(x3-

1

2

x4)|

3 2 0

=

27

32

點評：本題以曲線為載體，考查曲線的切線方程，考查利用定積分求曲線圍成的圖形面積，解題的關鍵是區分在點處與過點的切線方程的求解．