Question

已知函數，其中實數a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：首先求出函數的導數及在點f（0）處的值，然后求出在該點的切線方程，第二問根據函數的導數與極值的關系求出a的值，然后根據函數的導數與單調性的關系討論函數的單調性．
解答：解：（1）=，
當a=2時，f′（0）=，而f（0）=-，
所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：y-（-）=（x-0），即7x-4y-2=0．
（2）因為a≠1，由（1）可知=；
又因為f（x）在x=1處取得極值，
所以，解得a=-3；
此時，定義域（-1，3）∪（3，+∞）；
=，
由f′（x）=0得x₁=1，x₂=7，當-1＜x＜1或x＞7時f′（x）＞0；
當1＜x＜7且x≠3時f′（x）＜0；
由上討論可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）時是增函數，在[1，3），（3，7]上是減函數．
點評：掌握函數的導數與極值和單調性的關系．