Question

已知某高中某班共有學生50人，其中男生30人，女生20人，班主任決定用分層抽樣的方法在自己班上的學生中抽取5人進行高考前心理調查．
（I）求男生被抽取的人數和女生被抽取的人數；
（I）若從這5人中選取2人作為重點調查對象，求至少選取1個男生的概率；
（II）若本班學生考前心理狀態好的概率為0.8，求調查中恰有3人心理狀態良好的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，可得抽取的比例為，由分層抽樣的性質，計算可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，男生被抽取人數為3人，女生被抽取人數為2人，分析可得“至少選取1個男生”與“沒有1個男生”即“選取的都是2個女生”為對立事件；先計算“選取的都是2個女生”的概率，進而由對立事件的概率性質，計算可得答案；
（Ⅲ）根據題意，分析可得：本題為在5次獨立重復試驗中恰有3次發生，由其公式，計算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）根據題意，在50人中抽取了5人，抽取的比例為；
則抽取男生30×=3，女生20×=2；
即男生被抽取人數為3人，女生被抽取人數為2人；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，男生被抽取人數為3人，女生被抽取人數為2人，
“至少選取1個男生”與“沒有1個男生”即“2個女生”為對立事件；
選取的兩名學生都是女生的概率P==，
∴所求的概率為1-P=；
（Ⅲ）根據題意，本班學生的考前心理狀態良好的概率為0.8，
則抽出的5人中，恰有3人心理狀態良好，即在5次獨立重復試驗中恰有3次發生，
則其概率為C₅³×（）³×（）²=．
點評：本題主要考查排列n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率計算，涉及分層抽樣與對立事件的概率計算；需要牢記各個公式，并做到“對號入座”．