Question

已知某高中某班共有學生50人，其中男生30人，女生20人，班主任決定用分層抽樣的方法在自己班上的學生中抽取5人進行高考前心理調查．
（I）若要從這5人中選取2人作為重點調查對象，求至少選取1個男生的概率；
（II）若男生學生考前心理狀態好的概率為0.6，女學生考前心理狀態好的概率為0.5，ξ表示抽取的5名學生中考前心理狀態好的人數，求P（ξ=1）及Eξ．

Answer 1

分析：（I）根據分層抽樣的定義知：在自己班上的學生中抽取5人中有3男2女，“至少選取1個男生”的對立面是“全為女
生”則所求的概率為：1-“全為女生”的概率
（II）P（ξ=1）表示抽取的5名學生中考前心理狀態好的人數為男生1人和女生1人
ξ表示抽取的5名學生中考前心理狀態好的人數可表示為：用ξ₁表示3個男生中考前心理狀態好的人數，ξ₂表示2個女生考前心理狀態好的人數，則ξ₁～B（3，0.6），ξ₂～B（2，0.5）根據Eξ=Eξ₁+Eξ_{2^即可運算}

解答：解：（I）男生被抽取人數為3人，女生被抽取人數為2人
選取的兩名學生都是女生的概率P=

C22

C52

=

1

10

∴所求的概率為：1-P=

9

10

（II）P（ξ=1）=C₃1×0.6×0.4²×0.5²+C₂1×0.4³×0.5²=0.104
  用ξ₁表示3個男生中考前心理狀態好的人數，ξ₂表示2個女生考前心理狀態好的人數，
則ξ₁～B（3，0.6），ξ₂～B（2，0.5），
∴Eξ₁=3×0.6=1.8，Eξ₂=2×0.5=1，
∴Eξ=Eξ₁+Eξ₂=2.8

點評：本題考查了等可能事件的概率，離散型隨機變量的期望，特別是二項分布的期望與方差也是高考中常考的內容之一．