Question

已知雙曲線x2-

y2

2

=1，過點P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？如果能，求出直線l的方程；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線l的方程，當(dāng)k存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，M是線段AB的中點，則

x1+x2

2

=1，k=2 與k＜

3

2

矛盾，當(dāng)k不存在時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在．

解答：解：設(shè)過點P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當(dāng)k存在時，有y=k（x-1）+1，x2-

y2

2

=1，
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，
又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標(biāo)
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

，又P（1，1）為線段AB的中點
∴

x1+x2

2

=1，即

k-k2

2-k2

=1，k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時，方程（1）無實數(shù)解
故過點P（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且P為線段AB中點的直線不存在．
（2）當(dāng)x=1時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達定理的靈活運用．