Question

求下列函數的值域：f(x)=2cos2x+3sinx+3   x∈[

π

6

，

2π

3

]．

Answer 1

分析：把函數f（x）的解析式第一項利用同角三角函數間的基本關系sin²x+cos²x=1變形為關于sinx的二次函數，由x的范圍，根據正弦函數的圖象與性質求出正弦函數sinx的值域，即為二次函數的定義域，最后利用二次函數的圖象與性質得到函數的最大值與最小值，進而得到函數的值域．

解答：解：f（x）=2cos²x+3sinx+3
=2（1-sin²x）+3sinx+3
=-2sin²x+3sinx+5
=-2（sinx-

3

4

）²+

49

8

，
∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，∴sinx∈[

1

2

 ， 1]，
∴當sinx=

3

4

時，f（x）最大，最大值為f（

3

4

）=

49

8

，
當sinx=

1

2

或1時，f（x）最小，最小值為f（1）=6，
則函數f（x）的值域是[6 ， 

49

8

]．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦函數的定義域與值域，以及二次函數的性質，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為關于sinx的二次函數是本題的突破點．