Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，D、E分別為AB、BC的中點，且

A

B•

C

D=

B

C•

A

E．
（1）求證：a²，b²，c²成等差數列；
（2）求∠B及sinB+cosB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）

A

B•

C

D=

B

C•

A

E，即（

CB

-

CA

）•（

CB

+

CA

 ）=（

AC

-

AB

）•（

AC

-

AB

），化簡可得 a²-b²=b²-c²．
（2）由余弦定理求得cosB≥

1

2

，求得B的范圍，可得到B+

π

4

的范圍，從而得到1＜sinB+cosB≤

2

．

解答：解：（1）證明：由D、E分別為AB、BC的中點，可得 

A

B•

C

D=

B

C•

A

E，
（

CB

-

CA

）•（

CB

+

CA

 ）=（

AC

-

AB

）•（

AC

-

AB

），∴

CB

2- 

CA

2=

AC

2-

AB

2，
∴a²-b²=b²-c²，
∴a²，b²，c²成等差數列．
（2）解：由（1）得b2=

a2+c2

2

，
由余弦定理得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2- a2+c2 2

2ac

=

a2+c2

4ac

≥

1

2

，又B∈(0，π)，故0＜B≤

π

3

．
而 sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，B+

π

4

∈(

π

4

，

7π

12

]，
∴1＜sinB+cosB≤

2

，
sinB+cosB的取值范圍為（1，

2

]．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，等差數列的定義，余弦定理得應用，確定B的范圍是解題的難點．