Question

（1）設二次函數f ( x ) = ax² + bx + c，證明 f ( x ) > 0對一切x∈R恒成立的充要條件是a > 0，且Δ= b²－4ac < 0；

（2）設a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n是不全為零的任意實數，利用（1）的結論證明：．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）． 當a >0，且△=b2－4ac < 0時，，，f ( x ) > 0恒成立； 當f ( x ) > 0恒成立時，令，得． 即a與4ac－b2同號，若a < 0，4ac－b2 <0， 則當 時，f ( x ) = 0，與f ( x ) > 0矛盾，故 a >0，4ac－b2 >0， 即 a >0，△=b2－4ac < 0． （2）由，整理得 恒成立，而 ，故 ，即．