Question

（本題滿分12分）在如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，

AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在

的平分線上。

 

 

（1）求證：DE//平面ABC；

（2）求二面角E—BC—A的余弦值；

 

Answer 1

【答案】

解：方法一：（1）由題意知， 都是邊長為2的等邊三角形，

取AC中點O，連接BO，DO，

 

 

則

平面ACD平面ABC

平面ABC，作EF平面ABC，

那么EF//DO，根據題意，點F落在BO上，

，易求得

所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE//OF；

平面ABC，平面ABC，

平面ABC…………6分

（2）作FGBC，垂足為G，連接FG；

平面ABC，根據三垂線定理可知，EGBC

就是二面角E—BC—A的平面角

即二面角E—BC—A的余弦值為…………12分

方法二：（1）同方法一

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

 

 

可求得平面ABC的一個法向量為，

平面BCE的一個法向量為

所以

又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，所以二面

角E—BC—A的余弦值為；…12分

【解析】略