【題目】如圖，在三棱錐
中，
，二面角
的大小為120°，點
在棱
上，且
，點
為
的重心.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，并延長與
相交于點
，連接
，可證得
，從而得證；
（2）過點在
中作
，與
相交于點
，可得
，以點為坐標原點，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求平面
的法向量
和平面
的一個法向量為
，再求得
，進而利用同角三角函數關系即可得解.
（1）證明：連接，并延長與相交于點，連接，
因為點
為的重心，所以
，
在
中，有
，
所以，
則
平面
，
平面，
所以
平面；
（2）解：過點在中作，與相交于點，因為
，
，則
為二面角
的平面角，則。
以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
因為
，
，，則
，
，
，
，
所以
記平面的法向量，
則
令
，得到平面的一個法向量
，
設平面的一個法向量為，
則
，
令
，得到平面的一個法向量
，
，
設二面角
的平面角為
，則
，
即二面角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中,正確的個數是（ ）
①直線上有兩個點到平面的距離相等,則這條直線和這個平面平行；
②
為異面直線,則過
且與
平行的平面有且僅有一個；
③直四棱柱是直平行六面體；
④兩相鄰側面所成角相等的棱錐是正棱錐.
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
，且與定直線
相切．
（1）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（2）過點
的任一條直線
與軌跡交于不同的兩點
，試探究在
軸上是否存在定點
（異于點
），使得
？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
上一點
到焦點的距離為4，動直線
交拋物線于坐標原點O和點A，交拋物線的準線于點B，若動點P滿足
，動點P的軌跡C的方程為
．
（1）求出拋物線的標準方程；
（2）求動點P的軌跡方程；
（3）以下給出曲線C的四個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究：①對稱性；②范圍；③漸近線；④
時，寫出由確定的函數
的單調區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市交通管理部門為了解市民對機動車“單雙號限行”的態度，隨機采訪了100名市民，將他們的意見和是否擁有私家車的情況進行了統計，得到了如下的
列聯表：
贊同限行 | 不贊同限行 | 合計 | |
沒有私家車 | 15 | ||
有私家車 | 45 | ||
合計 | 100 |
已知在被采訪的100人中隨機抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是
.
（1）請將上面的列聯表補充完整；
（2）根據上面的列聯表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“對限行的態度與是否擁有私家車有關”；
（3）將上述調查所得到的頻率視為概率.現在從該市大量市民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名市民，抽取3次，記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數為
.若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望
和方差
.
附：參考公式：
，其中
.
臨界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.10 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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