Question

【題目】已知，.

（1）當時，求證：；

（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；（2）

【解析】

(1) 設F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通過兩次求導，判斷F（x）的單調性，即可得證；(2) 由題意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，設=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，兩次求導，判斷單調性，對a討論，分①當a≥時，②當a＜時，通過構造函數和求導，得到單調區間，可得最值，即可得到所求a的范圍．

(1)設，

F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x-]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），

所以，F′（x）在[0，+∞）上遞增，所以F′（x）≥F′（0）=0，

所以，F（x）在[0，+∞）上遞增，所以F（x）≥F（0）=0，

即有當x≥0時，f（x）≥（x+1）2+x；

（2）即，

則，

在上遞增，

①當時，,在上為單調遞增函數，

故，

②當時，

設,

,

在上為單調遞增函數，

，

，

則當時，恒成立，不合題意

綜上，則