Question

某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP（即人均純收入）在0.5千美元～8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況調查時發現：該飲料在人均GDP處于中等的地區銷售量最多，然后向兩邊遞減．
（1）下列幾個模擬函數中：①y=ax²+bx；②y=kx+b；③y=log_ax+b；④y=a^x+b（x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L）．用哪個模擬函數來描述人均A飲料銷售量與地區的人均GDP關系更合適？說明理由；
（2）若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為2L，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為5L，把（1）中你所選的模擬函數求出來，并求出各個地區中，年人均A飲料的銷售量最多是多少？

Answer 1

解：（1）用①來模擬比較合適．
因為該飲料在人均GDP處于中等的地區銷售量最多，然后向兩邊遞減．
而②，③，④表示的函數在區間[0.5，8]上是單調函數，
所以②，③，④都不合適，故用①來模擬比較合適．
（2）因為人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷量為2升；
若人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷量為5升，
把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax²+bx，
得，解得a=-，b=，
所以函數解析式為y=-x2+x．（x∈[0.5，8]）
∵y=-x2+x=-（x-）²+，
∴當x=時，年人均A飲料的銷售量最多是L．
分析：（1）用①來模擬比較合適．理由是：該飲料在人均GDP處于中等的地區銷售量最多，然后向兩邊遞減．而②，③，④表示的函數在區間[0.5，8]上是單調函數．
（2）因為人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷量為2升；若人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷量為5升，把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax²+bx，解得a=-，b=，所以函數解析式為y=-x2+x．（x∈[0.5，8]），再用配方法能求出當x=時，年人均A飲料的銷售量最多是L．
點評：考查學生會根據實際問題選擇函數類型，會用不同的自變量取值求二次函數的最值，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱條件，合理地進行等價轉化．