Question

有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）當腰長為1，等腰梯形周長；
（2）設等腰梯形ABCD周長為y，求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）①代數方法：由射影定理可得BC²=BE•AB結合已知可得BE=

1

4

，CD=4-2×

1

4

=

7

2

，從而可求

②設∠AOD=θ（多種設法）則cosθ=

7

8

利用余弦定理可得CD²=2²+2²-2×2×2cos（π-2θ）=8+8cos²θ=16cos²θ，從而可得周長=4+2+CD=6+4cosθ=

19

2

（2）設腰長為x，則BE=

x2

4

則有CD=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

y=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8（0＜x＜2

2

），利用二次函數的知識可求．

解答：解：（1）①代數方法：∵∠ACB=90°　CE⊥AB

∴BC²=BE•AB
BE=

1

4

CD=4-2×

1

4

=

7

2

∴周長=4+2+

7

2

=

19

2

②設∠AOD=θ（多種設法）

cosθ=

7

8

CD²=2²+2²-2×2×2cos（π-2θ）
=8+8cos²θ=16cos²θ
∴周長=4+2+CD=6+4cosθ=

19

2

∴等腰梯形ABCD周長為

19

2

（6分）
（2）設腰長為x，則BE=

x2

4

CD=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

y=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8（0＜x＜2

2

）
∴x=2時，y_max=10
∴當等腰梯形的腰長為2時，
周長最大，最大值為10．（12分）

點評：（1）①射影定理的應用是解決此題的關鍵②主要利用的把實際問題轉化為利用三角函數的知識解決
（2）二次函數在解決實際問題中求解最值的常用的方法